1 et 0.999...

Des "demonstrations" mathematiques prouvant que 1=0.999... (les ... signifient qu'il y a une infinite de 9) tournent sur internet.

- 1)
1/3 = 0.33...
3 x 0.33... = 0.99...
donc 1 = 0.99...
probleme:
- multiplier un nombre avec une infinite de decimales est-il possible?
- Si 3 x 0.33... = 0.99..., existe t'il un nombre y infinement petit tel que 0.99...+y = 1? Dans ce cas-la, 1/3 = 0.33...+y/3 = 0.33... car etant infiniement petit, la notation decimale serait la meme!

- 2)
x = 0.99...
10x = 9.99...
10x-x = 9
x = 1
probleme:
- multiplier un nombre avec une infinite de decimales est-il possible?
- on considere qu'une difference infiniement petite n'existe pas entre les parties decimales de 10x et x pour arriver a 10x-x=9 ?

- 3)
1-0.99... = 0.00... et ca ne se termine jamais donc ce nombre est egal a 0. probleme: un infinitesimal est egal a 0?

Toutes les 3 "preuves" partent de l'hypothese (clairement admise dans la 3eme) que 1/infini = 0, bref un nombre infiniement petit n'existe pas car il n'est pas concevable quand on utilise la notation decimale.
On part aussi de l'hypothese que la notation decimale permet de representer des nombres fidelement avec toutes leures proprietes.

Plusieurs questions se posent:
- A quoi servent les limites alors?
En cours, au lycee, on voit que la limite de 1/x quand x tend vers l'infini est bien egale a 0 mais je n'ai jamais entendu parler de 1/infini = 0.

- si 1/infini=0, peut on considerer que 1/0=infini? Une division par 0 est impossible, il me semblait pourtant.

- on appreciera l'ironie de rejeter l'existence d'un nombre infiniement petit quand on considere un nombre compose d'une infinite de chiffres.
Exemple: le nombre 0.999... peut s'ecrire
9 fois la Somme pour x=1 a l'infini de 10 puissance (-x)
Si 1/infini=0, alors a l'infini, les decimales de 0.99... seront egales a 0, ce qui en ferait un nombre fini.
Si ca, c'est pas du beau paradoxe!

- cherchons le plus grand nombre qui a pour propriete d'etre strictement inferieur a 1:
on tombe sur 0.999...
Maintenant plus fort, trouvons le deuxieme plus grand nombre strictement inferieur a 1:
on retombe sur 0.999...
Les 2 nombres ont la meme notation pourtant PAR DEFINITION, le premier et deuxieme nombre sont differents car ils ont des proprietes differentes!
La notation decimale est elle veritablement exacte?

- Comment l'ensemble des nombres peut-il etre considere comme continu si des differences infinitesimales sont considerees comme etant egales a 0?

- Voir l'analyse non-standard et les nombres hyperreels pour confirmer ou refuter 1/infini=0!